Изоморфизм группа кольцо поле определения. Гомоморфизмы колец. Если : u  V и : V  w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция  ○ : u  w будет гомоморфизмом групп или колец

Определение 1.7. Пусть (A , ) и (B , ) – группы. Отображение  : A  B называется гомоморфизмом групп , если оно сохраняет операцию, т.е.  x , y  A  (x  y ) =  (x ) (y ).

Определение 1.8. Если (A , + ,  ) и (B , , ) – кольца, то отображение  : A  B называется гомоморфизмом колец , если оно сохраняет обе операции, т.е.

 x , y  A  (x + y ) =  (x )  (y ),  x , y  A  (x  y ) =  (x )   (y ).

Определение 1.9. Инъективные гомоморфизмы называют мономорфизмами или вложениями , сюръективные гомоморфизмы – эпиморфизмами или наложениями , а биективные – изоморфизмами .

Определение 1.10. Если существует гомоморфизм групп или колец  : А  B , то группы или кольца А , В называют изоморфными .

Смысл изоморфизма состоит в том, что он устанавливает такое соответствие между элементами изоморфных объектов, которое показывает, что с точки зрения сохраняемых алгебраических операций изоморфные объекты неразличимы.

Примеры: 1. Тождественный изоморфизм I : A  A , x  A I (x ) = x . (A – группа или кольцо).

2. Единичный или нулевой эпиморфизм : если E = {e } – одноэлементный объект (единичная группа или нулевое кольцо), то для любой группы (A , ) или кольца определён эпиморфизм О: A  E ,  x  A О (x ) = e .

3. Естественные вложения групп и колец: Z  Q  R  C .

Свойства гомоморфизмов

Если  : (A ,  )  (B ,  ) – гомоморфизм групп, то

1 0 .  (e A ) = e B , т.е.  переводит единичный элемент в единичный.

2 0 .  a  A  (a – 1) =  (a ) – 1 , т.е.  переводит обратный элемент к а в обратный к  (а ).

3 0 . В случае гомоморфизма колец  : (A , + ,  )  (B ,  ,  ) получаем  (0 А ) = 0 В ,  (– a ) = –  (a ).

4 0 . Для гомоморфизма колец  : (A , +, )  (B , , ) верно:

 x , y  A  (x – y ) =  (x ) –  (y ).

5 0 . Гомоморфизм полей  : (A , + ,  )  (B ,  ,  ) либо нулевой, либо вложение.

60. Если  : u  V и : V  w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция  ○  : u  w будет гомоморфизмом групп или колец.

70. Если  : V  w – изоморфизм групп или колец, то обратное отображение  –1: w  V также является изоморфизмом групп или колец. Понятие и идея изоморфизма в современной математике

Изоморфизм (или изоморфность) – одно из основополагающих понятий современной математики. Два однотипных математических объекта (или структуры) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение одного из них на другой, такое, что оно и обратное к нему сохраняют строение объектов, т.е. элементы, находящиеся в некотором отношении, переводятся в элементы, находящиеся в соответствующем отношении.

Изоморфные объекты могут иметь различную природу элементов и отношений между ними, но они совершенно одинаково абстрактно устроены, служат копиями друг друга. Изоморфизм представляет собой «абстрактное равенство» однотипных объектов. Например, аддитивная группа классов вычетов по модулю n изоморфна мультипликативной группе комплексных корней n -ой степени из 1.

Отношение изоморфности на любом классе однотипных математических объектов, будучи отношением эквивалентности, разбивает исходный класс объектов на классы изоморфности – классы попарно изоморфных объектов. Выбирая в каждом классе изоморфности по одному объекту, мы получаем полный абстрактный обзор данного класса математических объектов. Идея изоморфизма заключается в представлении или описании объектов данного класса с точностью до изоморфизма.

Для каждого данного класса объектов существует проблема изоморфизма . Изоморфны ли два произвольных объекта из данного класса? Как это выясняется? Для доказательства изоморфности двух объектов, как правило, строится конкретный изоморфизм между ними. Или устанавливается, что оба объекта изоморфны некоторому третьему объекту. Для проверки неизоморфности двух объектов достаточно указать абстрактное свойство, которым обладает один из объектов, но не обладает другой.

МЕТОДИКА 11. Ю.М.Колягин различает два вида внеклассной работы по математике.

Работа с учащимися отстающими от других в изучении программного материала, т.е. дополнительные занятия по математике.

Работа с учащимися проявляющими интерес к математике.

Но можно выделить ещё и третий вид работы.

Работа с учащимися по развитию интереса в изучении математики.

Существуют следующие формы внеклассной работы:

Математический кружок.

Факультатив.

Олимпиады конкурсы, викторины.

Математические олимпиады.

Математические дискуссии.

Неделя математики.

Школьная и классная математическая печать.

Изготовление математических моделей.

Математические экскурсии.

Указанные формы часто пересекаются и поэтому трудно провести между ними резкие границы. Более того, элементы многих форм могут быть использованы при организации работы по какой либо одной из них. Например, при проведении математического вечера можно использовать соревнования, конкурсы, доклады и т. д.

Этапы организации.

Подготовительный

Организационный

возбудить интерес к внеурочным занятиям;

привлечь к участию в массовых мероприятиях и отдельных состязаниях;

Дидактический

помочь в преодолении трудностей;

поддерживать возникающий интерес к дополнительным занятиям;

желание заниматься математическим самообразованием

Основной

создать базу каждому ученику для дальнейших личных успехов;

помочь учащимся осознать социальную, практическую и личностную значимость внеклассных занятий;

формировать положительную мотивацию участия во внеклассных мероприятиях

Заключительный

провести диагностику и рефлексию, проводимых внеклассных занятий;

подвести итоги и поощрить учащихся принявших активное участие

Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и полей.

Пусть R 1 = (R 1 , +, ⋅, 0, 1 ) и R 2 = (R 2 , +, ⋅, 0, 1 ) - кольца.

Определение 2.9. Отображение f: R 1 → R 2 называют гомоморфизмом колец (кольца R 1 в кольцо R 1), если f(x + y) = f(x) + f(у), f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) для любых x, у ∈ R 1 , т.е. образ суммы и произведения любых двух элементов кольца R 1 при отображении f равен соответственно сумме и произведению их образов в кольце R 2 .

Если отображение f сюръективно (соответственно биективно), то его называют эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом ) колец (кольца R 1 на кольцо R 2)

Пример 2.25. Рассмотрим R 1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) - кольцо целых чисел - и ℤ k = (ℤ k , ⊕ k , ⨀ k , 0, 1) - кольцо вычетов по модулю k. Зададим отображение f: ℤ → ℤ k так: для всякого целого т образ f(m) равен остатку от деления m на k. Ранее мы уже доказали (см. пример 2.21), что для любых целых m и n имеет место равенство f(m + n) = f(m) ⊕ k f(n). Рассуждая аналогично, можно показать, что для любых целых тип также верно равенство f(m ⋅ n) = f(m) ⨀ k f(n). С учетом того что отображение f сюръективно, приходим к выводу, что оно является гомоморфизмом кольца целых чисел на кольцо ℤ k вычетов по модулю k. #

Без доказательства сформулируем некоторые теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец (и полей). Все эти утверждения могут быть доказаны по аналогии с соответствующими теоремами о гомоморфизмах и изоморфизмах групп.

Теорема 2.20. Пусть R 1 и R 2 - произвольные кольца. Если f: R 1 → R 2 - гомоморфизм, то

образ нуля кольца R 1 при отображении f есть нуль кольца R 2 , т.е. f(0 ) = 0 ;
образ единицы кольца R 1 при отображении f есть единица кольца R 2 , т.е. f(1 ) = 1 ;
для всякого элемента х кольца R 1 образ элемента, противоположного элементу x, равен элементу, противоположному образу элемента x, т.е. f(-x) = -f(x);
если кольца R 1 и R 1 являются полями, то для всякого элемента х кольца R 1 образ элемента, обратного к элементу х по умножению, равен элементу, обратному к образу элемента x, т.е. f(x -1) = -1

Теорема 2.21 . Если f - гомоморфизм кольца R в кольцо K , a g - гомоморфизм кольца K в кольцо L , то композиция отображений f॰g есть гомоморфизм кольца R , в кольцо L .

Теорема 2.22. Если f: R 1 → R 2 - изоморфизм кольца R 1 на кольцо R 2 , то отображение f -1 есть изоморфизм кольца R 2 на кольцо R 1 . #

Как и в случае групп, определяются понятия гомоморфного образа кольца и изоморфных колец. А именно кольцо К называют гомоморфным образом кольца R , если существует гомоморфизм кольца R на кольцо K . Два кольца R и K называют изоморфными и пишут R ≅ K , если существует изоморфизм одного из них на другой.

Так, например, кольцо вычетов по модулю к есть гомоморфный образ кольца целых чисел при гомоморфизме, задаваемом отображением, которое каждому целому т сопоставляет остаток от деления m на k.

Рассмотрим один интересный пример изоморфизма полей.

Пример 2.26 . Так же как и в примере 2.22, поставим в соответствие комплексному числу а + bi матрицу f(a + bi) = . Получим отображение f , которое, как уже было доказано, является инъекцией, причем а(0) = а(0 + 0 ⋅ i) = 0, где 0 - нулевая матрица. Заметим, что, поскольку определитель матрицы указанного вида равен а 2 + b 2 , среди всех таких матриц только нулевая будет иметь нулевой определитель.

Далее, легко проверить, что множество таких матриц за- замкнуто относительно операций сложения и умножения ма- матриц, содержит (как уже было отмечено) нулевую и единичную матрицы, а также вместе с каждой матрицей А матрицу -А и вместе с каждой ненулевой матрицей обратную к ней матрицу. Это значит, что множество матриц вида , a, b, ∈ ℝ , с операциями сложения и умножения матриц образует поле. Обозначим его М (a,b)2 .

Из примера 2.22 следует, что мультипликативная группа поля комплексных чисел изоморфна мультипликативной группе поля М (a,b)2 . Так как

f[(a+bi) + (c+di)] = f{(a+c) + (b+d)i] =

F(a+bi) + f(c+di),

то и аддитивная группа поля комплексных чисел изоморфна аддитивной группе поля М (a,b)2 . Итак, мы получаем, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц М (a,b)2 . Этот изоморфизм лежит в основе матричного представления алгебры комплексных чисел, что имеет значение для компьютерных реализаций этой алгебры.

То, что понятие изоморфизма действительно выражает одинаковость всех рассматриваемых свойств множеств, можно формулировать в виде следующего положения:

Если множества M и M" изоморфны относительно некоторой системы отношений S , то любое свойство множества M , формулированное в терминах отношений системы S (и, значит, и отношений, определяемых через отношения системы S ), переносится на множество M" , и обратно.

Разберем это положение на конкретном примере.

Пусть в множествах M и M" определено отношение "больше", и они изоморфны относительно этого отношения; тогда, если M упорядочено, т. е. если в M выполнены свойства 1) и 2) из раздела , то они выполнены и в M" .

Докажем свойство 1). Пусть a" и b" - элементы M" и a и b - соответствующие элементы M . В силу условия 1) в M выполнено одно из соотношений a = b , a > b , b > a . Отображение M на M" сохраняет отношение "больше". Значит, выполнено одно из соотношений a" = b" , a" > b" , b" > a" . Если бы в M" выполнялось более одного из них, то из сохранения отношения "больше" при отображении M" на M следовало бы выполнение более одного отношения для a и b , что противоречит условию 1).

Докажем свойство 2). Если a" > b" и b" > c" , то также a > b и b > c . В самом деле, в M должно быть a > c . Значит, a" > c" .

Займемся теперь изоморфизмом групп колец и полей. Ввиду того, что здесь отношения a + b = c и ab = c удовлетворяют дополнительным требованиям, что для любых a и b существует одно и только одно c , для которого a + b = c или ab = c (эти два требования являются по существу двумя дополнительными аксиомами), причем эти требования предполагаются выполненными как в M , так и в M" , определение изоморфизма групп колец и полей можно упростить по сравнению с определением , а именно требовать сохранения основных отношений лишь при переходе от M к M" . Ограничиваясь случаем колец и полей, нужным в дальнейшем при определении числовых областей (случай групп отличается от рассмотренного лишь тем, что налицо одна операция вместо двух), получаем таким образом:

Кольцо (или поле) R называется изоморфным кольцу (соответственно полю ) R" (запись ), если существует взаимно однозначное отображение R на R" , при котором сумме и произведению любых элементов R соответствуют сумма и произведение соответствующих элементов R" .

Покажем, что это определение является частным случаем общего определения . Для этого надо лишь убедиться, что обратное отображение R" на R также сохраняет сумму и произведение. Пусть в R" имеем: a" + b" = c" , и элементам a" , b" , c" при обратном отображении соответствуют a , b , c из R . Надо доказать, что a + b = c . Но если a + b = d ≠ c , то из определения, данного в предыдущем абзаце, следовало бы a" + b" = d" ≠ c" , что противоречит однозначности операции сложения в R"

Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р , содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно тех же операций, что и поле Р.

Теорема 10 (критерий подполя).

Пусть Р – поле, Н ≠ Æ, ∣Н ∣≥2 , Н Í Р. Н является подполем поля Р тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) для любых h 1 , h 2 ∈H: h 1 – h 2 ∈H ;

2) для любых h 1 , h 2 ∈H : h 1 h 2 ∈H ;

3) для любого h ∈H # ∃ h -1 ∈H # .

Доказательство. Необходимость. Пусть Н – подполе поля Р . Тогда, по определению 37, Н – поле. Следовательно, Н – аддитивная абелева группа. Значит, Н замкнуто относительно операции сложения и для любого h ∈H ∃ -h ∈H , то есть выполняется условие 1). Кроме того, H # - мультипликативная абелева группа. Значит, выполняются условия 2) и 3).

Достаточность. Пусть выполняются условия 1), 2) и 3). Покажем, что Н – подполе поля Р . Достаточно показать, что Н – поле. Из условия 1) следует, что Н – подгруппа аддитивной абелевой группы Р . Следовательно Н – аддитивная абелева группа. Из условий 2) и 3) имеем, Н # – подгруппа мультипликативной абелевой группы P # . Поэтому Н # – мультипликативная абелева группа. Кроме того, так как Н ÍР и в Р выполняются дистрибутивные законы, то в Н также выполняются дистрибутивные законы. Таким образом, Н – поле, а, следовательно, Н – подполе поля Р .

Теорема доказана.

Определение 38. Взаимнооднозначное отображение φ поля Р на поле Р называется изоморфным отображением или изоморфизмом , если выполняются 2 условия:

1) для любых a , b ∈Р φ (a+b )=φ (a )+φ (b );

2) для любых a , b ∈Р φ (a⋅b )=φ (a )⋅φ (b ).

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций.. На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и.. Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Диаграммы Эйлера-Венна
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо

Свойства операций над множествами
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Теорема об ассоциативности произведения функций
Определение 50. Пусть f: XY, g: YZ - функции. Произведением

Обратимое отображение
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Критерий обратимости функции
Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биек

Метод математической индукции
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Свойства бинарных операций
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М

Полугруппа с сокращением
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается . За

Простейшие свойства групп
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп
Теорема 8. Пусть {Hi | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Простейшие свойства колец
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K

Простейшие свойства полей
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия: 1) Р

Поля комплексных чисел
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас

Комплексного числа
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

Комплексного числа
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

В тригонометрической форме
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Первообразные корни
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то,

Кольцо многочленов от одной переменной
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2

Свойства степени многочлена
Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (

Над областью целостности
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности. Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что

Теорема Безу. Корни многочлена
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен

Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса). Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач

И их основные свойства
1. Сложение матриц. Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой

Матричные уравнения
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей. Замечание 9. Если А –

Теорема о четности перестановки
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Связь алгебраических дополнений с минорами
Пусть Δ = = . Определение 31. Если в определителе Δ сгр

Определитель произведения матриц
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Формулы Крамера
Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=

Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K , если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K .

Теорема 9 (критерий подкольца).

Пусть K – кольцо, H - непустое подмножество K. H является подкольцом кольца K тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) для любых h 1 , h 2 ∈H (h 1 -h 2 )∈H ;

2) для любых h 1 , h 2 ∈H h 1 ⋅h 2 ∈H .

Доказательство. Необходимость. Пусть H - подкольцо кольца K. Тогда Н – кольцо относительно тех же операций, что и K. Значит, Н замкнуто относительно операций сложения и умножения, то есть условие 2) выполняется. Кроме того, для любых h 1 , h 2 ∈H ∃ -h 2 ∈H и h 1 +(-h 2 )=h 1 -h 2 ∈H .

Достаточность. Пусть выполняются условия 1) и 2). Докажем, что Н - подкольцо кольца K. В силу определения 34, достаточно проверить, что Н - кольцо.

Так как выполняется условие 1), то, по теореме 7", Н является подгруппой аддитивной группы K . Кроме того, так как операция сложения коммутативна на K , то в Н операция «+» также коммутативна. Следовательно, Н – аддитивная абелева группа.

Далее, в K выполняются дистрибутивные законы и Н ⊆K . Значит, в Н также выполняются дистрибутивные законы. Тем самым мы показали, что Н – кольцо, а, следовательно, Н – подкольцо кольца K.

Теорема доказана.

Определение 35. Отображение φ кольца K в кольцо K называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом , если выполняются 2 условия:

1) для любых a , b ∈K φ (a+b )=φ (a )+φ (b );

2) для любых a , b ∈K φ (a⋅b )=φ (a )⋅φ (b ).

Замечание 10. Определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма, эндоморфизма, автоморфизма колец формулируется аналогично соответствующим определениям для групп.

Замечание 11. Отношение изоморфизма на множестве всех колец является отношением эквивалентности, которое разбивает данное множество на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. В один класс войдут те и только те кольца, которые изоморфны между собой. Изоморфные кольца обладают одними и теми же свойствами. Поэтому с алгебраической точки зрения они неразличимы.

8. Поле.