В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.

Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.

5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).

5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).

Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.

Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.

В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.

Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.

Примеры колец:

1. Множество квадратных матриц.

Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.

2. Множество всех комплексных чисел.

3. Множество всех действительных чисел.

4. Множество всех рациональных чисел.

5. Множество всех целых чисел.

Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .

Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.

Содержащее единицу, называется кольцом с единицей . Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I или E .

Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента.

Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы , что может вносить путаницу.

Единица, нуль и теория категорий

Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым.

Обратимость

Обратимым называется всякий элемент u кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:

∃ v 1: v 1 u = 1 {\displaystyle \exists v_{1}:v_{1}\,u=1} ∃ v 2: u v 2 = 1 {\displaystyle \exists v_{2}:u\,v_{2}=1} (a 1 + μ 1 1) (a 2 + μ 2 1) = a 1 a 2 + μ 1 a 2 + μ 2 a 1 + μ 1 μ 2 1 {\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} }}

с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент 1 будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент.

С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над

Определение 2.5. Кольцом называют алгебру

R = (R, +, ⋅,0 , 1 ),

сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем для любых a, b, c ∈ R выполняются равенства:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. а + 0 = a;
4. для каждого а ∈ R существует элемент а", такой, что a+a" = 0
5. а-(b-с) = (а-b)-с;
6. а ⋅ 1 = 1 ⋅ а = а;
7. а⋅(b + с) =а⋅b + а⋅с, (b + с) ⋅ а = b⋅ а + с⋅а.

Операцию + называют сложением кольца , операцию умножением кольца , элемент 0 - нулем кольца , элемент 1 - единицей кольца .

Равенства 1-7, указанные в определении, называют аксиомами кольца . Рассмотрим эти равенства с точки зрения понятия группы и моноида .

Аксиомы кольца 1-4 означают, что алгебра (R, +, 0 ), сигнатура которой состоит только из операций сложения кольца + и нуля кольца 0 , является абелевой группой . Эту группу называют аддитивной группой кольца R и говорят также, что по сложению кольцо есть коммутативная (абелева) группа.

Аксиомы кольца 5 и 6 показывают, что алгебра (R, ⋅, 1), сигнатура которой включает только умножение кольца ⋅ и еди- единицу кольца 1, есть моноид. Этот моноид называют мультипликативным моноидом кольца R и говорят, что по умножению кольцо есть моноид.

Связь между сложением кольца и умножением кольца устанавливает аксиома 7, согласно которой операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения.

Учитывая сказанное выше, отметим, что кольцо - это алгебра с двумя бинарными и двумя нульарными операциями R =(R, +, ⋅,0 , 1 ), такая, что:

1. алгебра (R, +, 0 ) - коммутативная группа;
2. алгебра (R, ⋅, 1 ) - моноид;
3. операция ⋅ (умножения кольца) дистрибутивна относительно операции + (сложения кольца).

Замечание 2.2. В литературе встречается иной состав аксиом кольца, относящихся к умножению. Так, могут отсут- отсутствовать аксиома 6 (в кольце нет 1 ) и аксиома 5 (умножение не ассоциативно). В этом случае выделяют ассоциативные коль- кольца (к аксиомам кольца добавляют требование ассоциативности умножения) и кольца с единицей. В последнем случае добавля- добавляются требования ассоциативности умножения и существования единицы.

Определение 2.6. Кольцо называют коммутативным , если его операция умножения коммутативна.

Пример 2.12. а. Алгебра (ℤ, +, ⋅, 0, 1) есть коммутативное кольцо. Отметим, что алгебра (ℕ 0 , +, ⋅, 0, 1) кольцом не будет, поскольку (ℕ 0 , +) - коммутативный моноид, но не группа.

б. Рассмотрим алгебру ℤ k = ({0,1,..., k - 1}, ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (к>1) с операцией ⊕ k сложения по модулю л и ⨀ k (умножения по модулю л). Последняя аналогична операции сложения по модулю л: m ⨀ k n равно остатку от деления на k числа m ⋅ n. Эта алгебра есть коммутативное кольцо, которое называют кольцом вычетов по модулю k.

в. Алгебра (2 A , Δ, ∩, ∅, А) - коммутативное кольцо, что следует из свойств пересечения и симметрической разности множеств.

г. Пример некоммутативного кольца дает множество всех квадратных матриц фиксированного порядка с операциями сложения и умножения матриц. Единицей этого кольца является единичная матрица, а нулем - нулевая.

д. Пусть L - линейное пространство. Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих в этом пространстве.

Напомним, что суммой двух линейных операторов А и В называют оператор А + В , такой, что (А + В ) х = Ах + Вх , х ∈ L .

Произведением линейных операторов А и В называют линей- линейный оператор АВ , такой, что (АВ )х = А (Вх ) для любого х ∈ L .

Используя свойства указанных операций над линейными операторами, можно показать, что множество всех линейных операторов, действующих в пространстве L , вместе с операциями сложения и умножения операторов образует кольцо. Нулем этого кольца служит нулевой оператор , а единицей - тождественный оператор .

Это кольцо называют кольцом линейных операторов в линейном пространстве L. #

Аксиомы кольца называют также основными тождествами кольца . Тождество кольца - это равенство, ливость которого сохраняется при подстановке вместо фигурирующих в нем переменных любых элементов кольца. Основные тождества постулируются, и из них затем могут быть выведе- выведены как следствия другие тождества. Рассмотрим некоторые из них.

Напомним, что аддитивная группа кольца коммутативна и в ней определена операция вычитания .

Теорема 2.8. В любом кольце выполняются следующие тождества:

1. 0 ⋅ а = a ⋅ 0 = 0 ;
2. (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
3. (a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀Докажем тождество 0 ⋅ а = 0 . Запишем для произвольного а:

a+0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = (1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ a = a

Итак, а + 0 ⋅ а = а. Последнее равенство можно рассматривать как уравнение в аддитивной группе кольца относительно неизвестного элемента 0 ⋅ а. Так как в аддитивной группе любое уравнение вида а + х = b имеет единственное решение х=b - а, то 0 ⋅ а = а - а = 0 . Тождество а⋅ 0 = 0 доказывается аналогично.

Докажем теперь тождество - (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). Имеем

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,

откуда а ⋅ (-b) = -(а ⋅ b). Точно так же можно доказать, что (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b).

Докажем третью пару тождеств. Рассмотрим первое из них. С учетом доказанного выше имеем

а ⋅ (b - с) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,

т.е. тождество справедливо. Второе тождество этой пары доказывается аналогично.

Следствие 2.1 . В любом кольце справедливо тождество (-1 ) ⋅ х = x ⋅ (-1 ) = -x.

◀Указанное следствие вытекает из второго тождества теоремы 2.8 при a = 1 и b = x.

Первые два тождества из доказанных в теореме 2.8 выражают свойство, называемое аннулирующим свойством нуля в кольце. Третья же пара тождеств указанной теоремы выражает свойство дистрибутивности операции умножения кольца относительно операции вычитания. Таким образом, производя вычисления в любом кольце, можно раскрывать скобки и менять знаки так же, как и при сложении, вычитании и умножении действительных чисел.

Ненулевые элементы а и b кольца R называют делителями нуля , если а ⋅ b = 0 или b ⋅ а = 0 . Пример кольца с делителем нуля дает любое кольцо вычетов по модулю k, если k - составное число. В этом случае произведение по модулю k любых тип, дающих при обычном перемножении число, кратное k, будет равно нулю. Например, в кольце вычетов по модулю 6 элементы 2 и 3 являются делителями нуля, поскольку 2 ⨀ 6 3 = 0. Другой пример дает кольцо квадратных матриц фиксированного порядка (не меньшего двух). Например, для матриц второго порядка имеем

При отличных от нуля а и b приведенные матрицы являются делителями нуля.

По умножению кольцо является только моноидом. Поставим вопрос: в каких случаях кольцо по умножению будет группой? Прежде всего заметим, что множество всех элементов кольца, в котором 0 ≠ 1 , не может образовывать группы по умножению, так как нуль не может иметь обратного. Действительно, если предположить, что такой элемент 0" существует, то, с одной стороны, 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 , а с другой - 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , откуда 0 = 1. Это противоречит условию 0 ≠ 1 . Таким образом, поставленный выше вопрос можно уточнить так: в каких случаях множество всех ненулевых элементов кольца образует группу по умножению?

Если в кольце имеются делители нуля, то подмножество всех ненулевых элементов кольца не образует группы по умножению уже хотя бы потому, что это подмножество не замкнуто относительно операции умножения, т.е. существуют ненулевые элементы, произведение которых равно нулю.

Кольцо, в котором множество всех ненулевых элементов по умножению образует группу, называют телом , коммутативное тело - полем , а группу ненулевых элементов тела (поля) по умножению - мультипликативной группой этого тела (поля ). Согласно определению, поле есть частный случай кольца, в котором операции обладают дополнительными свойствами. Выпишем все свойства, выполнение которых требуется для операций поля. Их еще называют аксиомами поля .

Поле есть алгебра F = (F, +, ⋅, 0, 1), сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем справедливы тождества:

1. a+(b+c) = (a+b)+c;
2. a+b = b+a;
3. a+0 = a;
4. для каждого а ∈ F существует элемент -а, такой, что a+ (-a) = 0;
5. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
6. a ⋅ b = b ⋅ a
7. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
8. для каждого а ∈ F, отличного от 0, существует элемент а -1 , такой, что а ⋅ а -1 = 1;
9. a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

Пример 2.13. а. Алгебра (ℚ, +, ⋅, 0, 1) есть поле, называемое полем рациональных чисел .

б. Алгебры (ℝ , +, ⋅, 0, 1) и (ℂ, +, ⋅, 0, 1) есть поля, называемые полями действительных и комплексных чисел соответственно.

в. Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернионов . #

Итак, мы видим, что известным законам сложения и умножения чисел соответствуют аксиомы поля. Занимаясь числовыми расчетами, мы „работаем в полях", а именно имеем дело преимущественно с полями рациональных и вещественных чисел, иногда „переселяемся" в поле комплексных чисел.

Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции-сложение (+) и умножение ( ), удовлетворяющие условиям:

1) относительно операции сложения К - коммутативнаятруппа;

2) относительно операции умножения К - полугруппа;

3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, c K , называется кольцом (К,+, ).

Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а , b , то кольцо называется коммутативным.

Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.

Подмножество L кольца называется подкольцом, если L - подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b L выполняется а+b L и ab L.

Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством S K, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.

1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, )-коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел - коммутативные кольца с единицей.

2. Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е - единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.

3. Пусть K-произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены

с переменной х и коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 , ..., а n , из К. Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов- это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной х т над кольцом K.

4. Пусть X - произвольное множество, К -произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

где + и - операции в кольце К.

Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K . Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.

Многие свойства колец - это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a m a n =a m + n , (а т) п =а тп для всех m , n и всех a .

Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:

1) для всех a a 0=0 a=0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab) ;

3) - a=(-1)a .

Действительно:

2) 0=a (аналогично (-a)b=-(ab));

3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a .

Поле

В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а =0, либо b =0. Но в кольце квадратных матриц порядка n >1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = .

Если в кольце К ab=0 при а 0, b , то а называется левым, а b - правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.

1. В кольце функции f: R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Для них f 1 (x) =0 при x и f 2 (x )=0 при x , а поэтому произведение f 1 (x) f 2 (x) - нулевая функция, хотя f 1 (x) и f 2 (x) . Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.

2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:

(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);

(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).

Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).

Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с. Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Пусть К - кольцо, с единицей. Элемент а называется обратимым, если существует такой элемент а -1 , для которого aa -1 =a -1 a=1 .

Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab =0 , то a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0 (аналогично ba=0 ).

Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.

Действительно, умножение в К ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а и b обратимы, то
(аb) -1 =b -1 a -1 .

Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим, т. е. относительно операции умножения множество K \{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.

Коммутативное кольцо Р с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.

Произведение аb -1 записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b 0 . Элемент является единственным решением уравнения bx=a. Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам:

Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= - решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= - единственное решение уравнения bdt=da+bc.

1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.

8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8

8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.

8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.

8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:

а) множество целых чисел;

б) множество рациональных чисел;

в) множество действительных чисел, отличных от нуля.

8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) группу;

б) кольцо;

8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:

а) некоммутативное кольцо;

б) коммутативное кольцо;

8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) кольцо;

8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:

8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

а) группу;

б) абелеву группу.

8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.

8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.

Понятие кольца, простейшие свойства колец.

Алгебра (K , +, ∙) называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (K , +) – коммутативная группа;

2.
a(b+c ) = ab+ac (b+c )a = ba+ca ;

3. a (bc ) = (ab ) c .

Если операция умножения в кольце коммутативная, то кольцо называется коммутативным.

Пример. Алгебры (Z, +, ∙), (Q , +, ∙), (R , + ,∙) являются кольцами.

Кольцо обладает следующими свойствами: имеет место

1) a + b = a => b = 0;

2) a + b = 0 => b = - a ;

3) – (- a ) = a ;

4) 0∙a = a ∙0 = 0 (0 – ноль кольца);

5) (-a )∙b = a ∙(-b ) = -a ∙b ;

6) (a – b )∙c = a ∙c – b ∙c , где a – b = a + (-b) .

Докажем свойство 6. (a – b )∙c = (a + (-b ))∙c = a ∙c + (-b )∙c = a ∙c +(-b ∙c )= =a ∙c – b ∙c .

Пусть (K A K называется подкольцом кольца (K ,+,∙), если оно является кольцом относительно операций в кольце (K , +, ∙).

Теорема. Пусть (K , +, ∙) – кольцо. Непустое подмножество A K , является подкольцом кольца К тогда и только тогда, когда
a - b , a ∙b
.

Пример. Кольцо (Q, +, ∙) является подкольцом кольца (А , +, ∙), где A = ={a + b | a , b Q}.

Понятие поля. Простейшие свойства полей .

Определение. Коммутативное кольцо (Р , +, ∙) с единицей, где ноль кольца не совпадает с единицей кольца, называется полем, если
a ≠0 существует ему обратный элемент а -1 , а ∙ а -1 = е , е – единица кольца.

Все свойства колец справедливы для полей. Для поля (Р ,+,∙) справедливы также следующие свойства:

1)
a ≠0 уравнение ах = b имеет решение и притом единственное;

2) ab = e |=> a ≠0 b = а -1 ;

3)

c ≠0 ac = bc => a=b ;

4) ab = 0
a = 0 b = 0;

5) ad = bc (b ≠0, d ≠0);

6)
;

.

Пример. Алгебры (Q, +, ∙), (А , +, ∙), где А = {a +b | a , b Q}, (R , +, ∙) – поля.

Пусть (Р ,+,∙) – поле. Непустое подмножество F P , являющееся полем относительно операции в поле (Р ,+,∙) называется подполем поля Р .

Пример. Поле (Q,+,∙) является подполем поля действительных чисел (R,+,∙).

Задачи для самостоятельного решения

1. Покажите, что множество относительно операции умножения есть абелева группа.

2. На множестве Q\{0}определена операция а b =
. Докажите, что алгебра (Q\{0},) является группой.

3. На множестве Z задана бинарная алгебраическая операция, определенная по правилу, а b = а+ b – 2. Выясните, является ли алгебра (Z,) группой.

4. На множестве А = {(a , b )
} определена операция (а, b ) (c , d ) = (ac – bd , ad + bc ). Докажите, что алгебра (А, ) – группа.

5. Пусть Т – множество всех отображений
заданных правилом
, где а, b Q, a
Докажите, что Т является группой относительно композиции отображений.

6. Пусть А ={1,2,…,n }. Взаимнооднозначное отображение f :
называется подстановкой n – ой степени. Подстановку n – ой степени удобно записывать виде таблицы
, где Произведение двух подстановок
множества А определяется как композиция отображений . По определению

Доказать, что множество всех подстановок n – ой степени является группой относительно произведения подстановок.

7. Выясните, образует ли кольцо относительно сложения, умножения:

a ) N ; b ) множество всех нечетных целых чисел; c)множество всех четных целых чисел; d ) множество чисел вида
где а, b

8. Является ли кольцом множество К ={а +b
} относительно операций сложения и умножения.

9. Покажите, что множество А ={a +b } относительно операций сложения и умножения есть кольцо.

10. На множестве Z определены две операции: a b =a +b +1, ab = ab + a + b . Доказать, что алгебра

11. На множестве классов вычетов по модулю m заданы две бинарные операции:Доказать, что алгебра
коммутативное кольцо с единицей.

12 . Опишите все подкольца кольца
.

13. Выясните, какие из следующих множеств действительных чисел являются полями относительно операций сложения и умножения:

a ) рациональные числа с нечетными знаменателями;

b ) числа вида
c рациональными а, b ;

c ) числа вида
с рациональными а , b ;

d ) числа вида
с рациональными a , b , c .

§5. Поле комплексных чисел. Операции над комплексными

числами в алгебраической форме

Поле комплексных чисел .

Пусть заданы две алгебры (А ,+,∙), (Ā , , ◦). Отображение f : A в(на) >Ā , удовлетворяющее условиям:
f (a +b ) = f (a ) f (b ) f (a ◦b ) = f (a ) ◦ f (b ), называется гомоморфизмом алгебры (А , +, ∙) в(на) алгебру (Ā , , ◦).

Определение. Гомоморфное отображение f алгебры (А , +, ∙) на алгебру (Ā , , ◦) называется изоморфным отображением, если отображение f множества А на Ā инъективно. С точки зрения алгебры изоморфные алгебры неразличимы, т.е. обладают одинаковыми свойствами.

Над полем R уравнение вида x 2 +1 = 0 не имеет решений. Построим поле, которое содержит подполе, изоморфное полю (R ,+,∙), и в котором уравнение вида x 2 +1 = 0 имеет решение.

На множестве C = R × R = {(a , b ) | a , b R } введем операции сложения и умножения следующим образом: (a , b ) (c , d ) = (a + c , b + d ), (a , b ) ◦ (c , d ) = (ac -bd , ad +bc ). Нетрудно доказать, что алгебра (C, ,◦) коммутативное кольцо с единицей. Пара (0,0) – ноль кольца, (1,0) – единица кольца. Покажем, что кольцо (С , ,◦) – поле. Пусть (a , b ) C, (a , b ) ≠ (0,0) и (x ,y ) C такая пара чисел, что (a , b )◦(x , y ) = (1,0). (a , b )◦(x , y ) = (1,0) (ax – by , ay + bx ) = (1,0)

(1)

Из (1) =>
,
(a , b ) -1 =
. Следовательно (С, +, ∙) – поле. Рассмотрим множество R 0 = {(a ,0) | aR }. Так как (a ,0) (b ,0) = (a - b ,0)R 0 , (a ,0)◦(b ,0) = (ab ,0) R 0 ,
(a ,0) ≠ (0,0) (a ,0) -1 = (,0) R 0 , то алгебра (R 0, ,◦) – поле.

Построим отображение f : R
R 0 , определенное условием f (a )=(a ,0) . Так как f – биективное отображение и f (a + b )= (a + b ,0) = =(a ,0)(b ,0) = f (a )f (b ), f (a ∙b ) = (a ∙ b ,0) = (a ,0)◦(b ,0) =f (a )◦f (b ), то f – изоморфное отображение. Следовательно, (R , +,∙)
(R 0, ,◦). (R 0, ,◦) – поле действительных чисел.

Покажем, что уравнение вида х 2 +1 = 0 в поле (C , , ◦) имеет решения. (х,у ) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - y 2 +1, 2xy ) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) – решения системы (2).

Построенное поле (C , ,◦) называется полем комплексных чисел, а его элементы комплексными числами.

Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Пусть (С, +, ∙) поле комплексных чисел,
C,
=(a , b ). Так как (R 0 ,+, ∙) (R , +, ∙), то любую пару (a ,0) отождествим с действительным числом a . Обозначим через ί = (0,1). Так как ί 2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, то ί называется мнимой единицей. Представим комплексное число
=(a ,b ) в виде: =(a ,b )=(a ,0) +(b ,0) ◦(0,1)=a +b ∙ί. Представление комплексного числа в виде, = а + b ί называется алгебраической формой записи числа . a называется действительной частью комплексного числа и обозначается Re, b – мнимая часть комплексного числа и обозначается Im.

Сложение комплексных чисел:

α = а+ bί , β = с+ d ί , α +β = (а, b ) + (c , d ) = (a + c , b + d ) = a + c + (b + d )ί.

Умножение комплексных чисел:

α∙β = (a , b )(c , d ) = (a ∙ c – b ∙ d , a ∙ d + b ∙ c ) = a ∙ c - b ∙ d + (a ∙ d + b ∙ c )ί.

Чтобы найти произведение комплексных чисел а+ bί и с+ d ί , нужно умножить а+ bί на с+ d ί как двучлен на двучлен, учитывая, что ί 2 = -1.

Частным от деления на β , β ≠ 0 называется такое комплексное число γ, что = γ∙β .

= γ∙β => γ = ∙β -1 . Так как
, то =∙β -1 = =(a , b )∙
Таким образом

Эту формулу можно получить, если числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю, т.е. на

с – dί .

Пример. Найти сумму, произведение, частное комплексных чисел

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

Решение. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. Извлечение корня n -ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме

Тригонометрическая форма комплексного числа.

На плоскости в прямоугольной системе координат комплексное число

z = a + bί будем изображать точкой А (а, b ) или радиусом вектором
.

Изобразим комплексное число z = 2 – 3ί .

Определение. Число
называется модулем комплексного числа z = a + bί и обозначается | z |.

Угол, образованный между положительным направлением оси Ох и радиусом вектором , изображающим комплексное число z = a + bί , называется аргументом числа z и обозначается Arg z .

Argz определен с точностью до слагаемое 2πk , .

Аргумент комплексного числа z , удовлетворяющий условию 0≤ < 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа z и обозначается arg z .

Из OAA 1 =>a =
cos, b = sin
. Представление комплексного числа z = a + bί в виде z = r (cos+ ί sin) называется тригонометрической формой записи числа z (r =). Чтобы записать комплексное число z = a + bί в тригонометрической форме, необходимо знать |z | и Arg z , которые определяются из формул
, cos =
sin =

Пусть z 1 = r 1 (cos φ 1 + ί sin φ 1), z 2 = r 2 (cos φ 2 + ί sin φ 2). Тогда z 1∙ z 2 = =r 1∙ r 2 [(cosφ 1 ∙cosφ 2 – sin φ 1∙ sin φ 2)+i ]= r 1∙ r 2 [(cos (φ 1+ φ 2) + i sin (φ 1+ φ 2)] . Отсюда следует, что |z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .

Arg
Arg– Arg.

Извлечение корня n – ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме.

Пусть z C , n N . n – ой степенью комплексного числа z называется произведение
обозначается оно z n . Пусть m =- n . По определению положим, что
z≠0, z 0 = 1, z m = . Если z =r (cosφ + ί sinφ ) , то z n =

= r n (cosnφ + ί sinnφ ). При r = 1 имеем z n = cosnφ + ί sinnφ – формула Муавра. Формула Муавра имеет место
.

Корнем n z называется такое комплексное число ω , что ω n = z . Справедливо утверждение.

Теорема. Существует n различных значений корня n –ой степени из комплексного числа z = r (cosφ + ί sinφ ) . Все они получаются из формулы при k = 0, 1, … , n -1. В этой формуле
– арифметический корень.

Обозначим через, ω 0 , ω 1 ,…, ω n -1 – значения корня n -ой степени из z , которые получаются при k = 0, 1, ... , n -1. Так как |ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

arg ω 0 = , ω 1 = arg ω 0 +
, … , arg ω n -1 = arg ω n - 2 + , то комплексные числа ω 0 , ω 1 ,…, ω n -1 на плоскости изображаются точками круга с радиусом равным
и делят этот круг на n равных частей.